GEOMETRIA PLANA UNAD 2014

curiosidades matemáticas 2

-Arquímedes, en el siglo III a. C., hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano.

-Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra Harmonice mundi, de 1619. Además, realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos.

-Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan, el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov y la psicóloga Camila Rial estudiaron completamente las simetrías del plano, e iniciaron así el estudio sistemático y profundo de los teselados.

-Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972), quien, por sugerencia de su amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió los teselados hiperbólicos, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra, en Granada. Llegó a un sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.

curiosidades matemáticas

Las primeras construcciones de polígonos regulares con regla y compás

Se puede decir que una Construcción con Regla y Compás consiste en la determinación de puntos, rectas (o segmentos de ellas) y circunferencia (o arcos de la mismas) a partir de una regla y un compás. La geometría clásica griega fue la primera en implementar la norma para que todas las construcciones fueran realizadas con estos instrumentos, y aparte de estos, existieron otros básicos que fueron utilizados. Para los griegos todas las figuras que se imaginaban debían ser sistemáticamente construibles a través de estos instrumentos, de lo contrario lo consideraban poco elegante.

Existieron considerables intentos para la construcción de figuras con regla y compás entre ellas se encuentra: Abul Wefa (Persa del siglo X), que se preocupó por los objetos que podían ser construidos solo con regla y compás rígida o compás oxidado, un instrumento que permitía trazar circunferencias de único radio prefijado. Para la época del Renacimiento, Leonardo Da Vinci y otros se preocuparon por este tipo de construcciones, pero hasta 1673, cuando apareció en Ámsterdam un libro anónimo (posteriormente se supo que el autor fue George Mohr), llamado Compendius Euclidis Curiosi que daba un tratamiento serio al problema. Más adelante en Londres, William Leybourn, escribió un libro acerca de “juegos y pasatiempos con regla y tenedor (un tenedor puede hacer las veces de compás rígido). En 1794 el italiano Lorenzo

Mascherani prueba que toda construcción con regla y compás podía ser realizada únicamente con el compás (aunque esto fue un aporte por Mohr).

En el siglo XIX el francés Poncelet, demostró que toda construcción con regla y compás puede ser llevada únicamente con regla y compás rígido (o sea un tenedor); y, el suizo Jacob Steiner, prueba que bastaba únicamente con una regla y una circunferencia fija en el papel para realizar las construcciones.

Solo hasta el siglo XIX, las demostraciones de los teoremas fundamentales sobre ecuaciones polinómicas, la comprensión de los números irracionales y trascendentes, y el algebra abstracta fueron explicadas a través de la regla y compás, pero hubo otros teoremas que no fueron posibles de explicar a través de estos instrumentos tales como: la construcción de la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo y la construcción del heptágono regular (el primero de los infinitos polígonos regulares imposible de crear con regla y compás), y el endecágono regular.

La historia muestra, que Napoleón pudo haber demostrado, en el momento en que le propone a Mascherani la posibilidad de realizar cualquier construcción con regla y compás a partir de una colección infinita de palillos de dientes planos y del mismo tamaño; Esta demostración, solo fue validada en el año de 1939 por Dawson. Para el siglo XX, finalmente se prueba que solo hacía falta la regla, el centro de la circunferencia y un arco de tamaño arbitrario de la misma.

Gauss a los 19 años encontró una construcción geométrica para construir el polígono reguilar de 17 lados (17-gono regular), (1796). Euclides proporcionó construcciones, utilizando regla y compás, para polígonos regulares con 3, 5 y 15 lados; también sabía que estos números podían duplicarse repetidamente bisecando ángulos, lo que daba polígonos regulares con 4, 6, 8 y 10 lados, y así sucesivamente, pero Euclides no dio construcciones para polígonos de 7 lados, de 9 lados o de cualquier otro número de los recién listados. Durante aproximadamente dos mil años el mundo matemático supuso que Euclides había dicho la última palabra y no se podía construir ningún otro polígono regular. Stewart [16] Gauss demostró que no era así. Gauss no dejo evidencia alguna de cómo podría construirse el 17-gono regular, pero Johannes Erchinger fue el primero en demostrar un método para construir el 17-gono regular (Heptadecágono), y lo muestra en 44 Construcción de polígonos regulares

64 pasos. También En el año de 1837 Wantzel probó la condición necesaria; que Gauss también creyó, pero que no dio ninguna demostración alguna.

En la actualidad solo se saben construir de forma exacta 5 polígonos regulares, tales que el número de sus lados, n, sea un número primo (n = 3, 5, 17, 257 y 65.537 y se sospecha que no existen más, el de 257 lo construyó Richelot en 1832 y el de 65.537, De Lingen en 1894. (Ortega 2005). Desde el siglo XIX Gauss mostró que para que un polígono fuera construible con regla y compás debía tener una cantidad de lados que fuera un número primo de la forma 22𝑛+ 1, (n= 0, 1, 2, . . .) que se llaman primos de Fermat. Conocemos 5 mencionados anteriormente.

Problemas Griegos

Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución por medio de la regla y el compás son la cuadratura del círculo, duplicación del cubo, y la trisección del ángulo; a los que a veces se agrega la construcción del heptágono regular (el primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de construir con regla y compás).

En realidad, estos problemas son generalizaciones de otros problemas ya propuestos por los griegos, teniendo en cuenta que la importancia de su geometría no es sólo el aspecto teórico, sino también en lo práctico; se preocuparon de construir sistemáticamente cada figura que imaginaban. Puesto que cualquier ángulo puede ser bisecado de una manera sencilla, era natural plantearse la trisección. Sí la diagonal de un cuadrado es igual al lado de un cuadrado cuya área es el doble que la del primero. Porque no intentar algo similar con dos cubos. Y el caso de la cuadratura encaja dentro de un conjunto de problemas muy habituales para los griegos en los que se debía construir una figura de una forma dada y de área igual a la otra figura dada. Por último el trazado del polígono de siete lados se desprende directamente de la posibilidad real de construir triángulos, cuadrados, pentágonos y hexágonos regulares.

La otra característica particular de estos problemas es la sencillez del enunciado, el cual podría pertenecer de manera perfecta a cualquier libro de enseñanza de nivel primario o secundario, pero sin embargo han interesado a la humanidad durante más de 2000 años. Así, el problema puede ser comprendido por una persona ajena a las matemáticas.

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martes, 9 de diciembre de 2014

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